工科数学分析笔记


第五章:微分方程重点方法

一、微分方程种类以及解法

1、变量可分离方程

通俗解释:可以把两个变量分别分开放到方程的两边

形式:$f(x)dx=g(y)dy$

方法:直接对两边各自的变量求积分


2、齐次方程

通俗解释:分子分母各项的x和y次数相同

形式:

$$\frac{dy}{dx}=g (\frac{y}{x})\tag{1}$$

方法:

作代换,令$u=\frac{y}{x}$,即$y=ux$,把u看作关于x的一个函数(当然也和y有关),然后对x求导。(1)式变成了:

$$\frac{dy}{dx}=g (\frac{y}{x})=g(u)\tag{2}$$

根据求导法则(前导后不导+后导前不导)得:

$$\frac{dy}{dx}=xdu+u\tag{3}$$

把(2)(3)两个式子的右边划等号,得到:

$$\frac{du}{dx}=\frac{g(u)-u}{x}\tag{4}$$

发现(4)式只剩关于u和x,而且可以分离,问题转化为变量可分离方程问题,按照之前那么写就好了。

2.1、变态版齐次方程

相对于普通版的其次方程,多了点常数出来,形式:

$$\frac{dy}{dx}=f (\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_{1}}{a_{2}x+b_{2}y+c_{2}})\tag{5}$$

方法:

既然多了点常数出来就想方设法把常数消掉。

所以我们采用移轴法,消掉常数$c_{1},c_{2}$

首先求出(5)式的分子分母所代表的两条直线交点,将交点移到原点即可削去常数。

移轴

移轴应该该看点而不是看轴,想把原来的坐标系$xoy$中$(a,b)$移动到原点$(0,0)$,原来$xoy$中$(a,b)$在新的坐标系$x’oy’$中:对应$(0’,0’)$(’表示在新的坐标系中的坐标)。然后找出点的对应关系
$$\left{\begin{aligned}x=x’+a \y=y’+b\end{aligned}\right. $$
为了方便区分,把$x’,y’$记作$X’,Y’$

然后就变成这样了↓

$$\frac{dY}{dX}=f (\frac{a_{1}’X+b_{1}’Y}{a_{2}’X+b_{2}’Y})\tag{6}$$

分子分母同时除以X就行转化为普通版的齐次问题

补充:(种群)增长与衰减模型

理想情况下:

$$\frac{dP}{dt}=aP(t)$$
$$P(t_{0})=P_{0}$$

得到模型:(P0是t=t0时的种群数量,)

$$P(t)=P_{0}e^{a(t-t_{0})}$$

非理想情况下:(逻辑率方程)

$$\frac{dP}{dt}=aP-bP^2$$

$-bP^2$的原因是两两个体间的相互影响

最终表达式:

$$P(t)=\frac{aP_{0}}{bP_{0}+(a-bP_{0})e^{-a(t-t{0})}}$$

$${ \lim_{t \to +\infty} P(t)=\frac{a}{b}}$$

$\frac{a}{b}$就是常说的环境承载量

3、一阶线性微分方程

分类:线性齐次方程&线性非齐次方程

一般形式

$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$$

如果Q(x)=0(没有单独出来的含有y的项)

则是线性齐次方程,线性齐次方程可以直接转化为变量可分离方程来解。

如果Q(x)≠ 0

则是非线性齐次方程,重点说明怎么解这种。


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